Лакуны в спектре тонких волноводов с периодически расположенными локальными деформациями стенок

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Исследуется строение спектров квантового и акустического волноводов, полученных из тонкого цилиндра присоединением периодического семейства мелких узлов. Получены асимптотические разложения собственных значений модельной задачи на ячейке периодичности, на основе которых выведены асимптотические формулы для положения и размеров лакун в спектрах соответствующих задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа. Найдены геометрические и интегральные характеристики волновода, обеспечивающие раскрытие нескольких спектральных лакун. Библ. 36. Фиг. 3.

Full Text

Restricted Access

About the authors

С. А. Назаров

ИПМаш РАН

Author for correspondence.
Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
Russian Federation, 1190178 С.-Петербург, Большой проспект, В.О, 61

References

  1. Exner P., Kovarik H. Quantum waveguides. Theoretical and Mathematical Physics. Cham: Springer. 2015.
  2. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974.
  3. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
  4. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир. 1971.
  5. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.
  6. Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics. Vol. 3. New York: Academic Press Inc., 1980.
  7. Скриганов М. М. Геометрические и арифметические методы в спектральной теории многомерных периодических операторов // Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 171. Ленинград: Наука, 1985. 122 с.
  8. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations. Basel: Birchäuser, 1993.
  9. Nazarov S. A., Plamenevsky B. A. Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries. Berlin, New York: Walter de Gruyter. 1994.
  10. Гельфанд И. М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73. С. 1117–1120.
  11. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
  12. Mazja W. G., Nazarov S. A., Plamenewski B. A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten. 1. Berlin: Akademie-Verlag. 1991 (англ. перевод: Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Vol. 1. Basel: Birkhäuser Verlag, 2000).
  13. Назаров С. А. Структура решений эллиптических краевых задач в тонких областях // Вестник ЛГУ. Серия 1. 1982. Вып. 2. № 7. С. 65–68.
  14. Grieser D. Spectra of graph neighborhoods and scattering // Proc. London Math. Soc. 2008. V. 97. № 3. P. 718–752.
  15. Назаров С. А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54. № 5. С. 77–142.
  16. Назаров С. А. Об одномерных асимптотических моделях тонких решеток Неймана // Сибирск. матем. журнал. 2023. Т. 64. № 2. С. 362–382.
  17. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз, 1962.
  18. Гомес Д., Назаров С. А., Ориве-Ийера Р., Перес М.-Е. Замечания об обосновании асимптотики спектра цилиндрических волноводов с периодическими сингулярными возмущениями границы и коэффициентов // Проблемы матем. анализа. Вып. 111. Новосибирск, 2021. С. 43–65.
  19. Gómez D., Nazarov S. A., Orive-Illera R., Pérez-Martinez M.-E. Spectral gaps in a double-periodic perforated Neumann waveguide // Asymptotic Analysis. 2023. V. 131. P. 385–441.
  20. Назаров С. А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга, 2002.
  21. Panassenko G. Multi-scale modelling for structures and composites. Dordrecht: Springer, 2005.
  22. Post O. Spectral analysis on graph-like spaces. Lecture Notes in Mathematics, 2039. Heidelberg: Springer, 2012.
  23. Ван-Дайк М. Д. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.
  24. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
  25. Назаров С. А. Открытие лакуны в непрерывном спектре периодически возмущенного волновода // Матем. заметки. 2010. Т. 87. № 5. С. 764–786.
  26. Назаров С. А. Асимптотика спектральных лакун в регулярно возмущенном периодическом волноводе // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2. № 7. С. 54–63.
  27. Борисов Д. И., Панкрашкин К. В. Открытие лакун и расщепление краев зон для волноводов, соединенных периодической системой малых окон // Матем. заметки. 2013. Т. 93. № 5. С. 665–683.
  28. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. № 5. С. 3–122.
  29. Jones D. S. The eigenvalues of ▽2u + λu = 0 when the boundary conditions are given on semi-infinite domains // Proc. Camb. Phil. Soc. 1953. V. 49. P. 668–684.
  30. Molchanov S., Vainberg B. Scattering solutions in networks of thin fibers: small diameter asymptotics // Comm. Math. Phys. 2007. V. 273. No. 2. P. 533–559.
  31. Назаров С. А. Пороговые резонансы и виртуальные уровни в спектре цилиндрических и периодических волноводов // Известия РАН. Серия матем. 2020. Т. 84. № 6. С. 73–130.
  32. Pankrashkin K. Eigenvalue inequalities and absence of threshold resonances for waveguide junctions // J. of Math. Anal. and Appl. 2017. V. 449. No. 1. P. 907–925.
  33. Бахарев Ф. Л., Назаров С. А. Критерии наличия и отсутствия ограниченных решений на пороге непрерывного спектра в объединении квантовых волноводов // Алгебра и анализ. 2020. Т. 32. № 6. С. 1–23.
  34. Evans D. V., Levitin M., Vasil’ev D. Existence theorems for trapped modes // J. Fluid Mech. 1994. V. 261. P. 21–31.
  35. Назаров С. А. Волновод с двойным пороговым резонансом на простом пороге // Матем. сборник. 2020. Т. 211. № 8. С. 20–67.
  36. Korolkov A. I., Nazarov S. A., Shanin A. V. Stabilizing solutions at thresholds of the continuous spectrum and anomalous transmission of waves // ZAMM. 2016. V. 96. No. 10. P. 1245–1260.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Fig. 1. Waveguide with a resonator (a) and a thin cylinder with a periodic family of nodes (b).

Download (14KB)
Indexing metadata
3. Fig. 2. Cylinders with thinning (a) and thickening (b). Perturbation of the band while maintaining the area of the resonator, cut off by dash-dotted lines (c).

Download (12KB)
Indexing metadata
4. Fig. 3. Trusses of dispersion curves (a) and (c) of the limit problem for different definitions of the Floquet parameter. Nodes are marked with  and , but the vertical scale is not maintained. The truss of the dispersion curves of the original problem (b), and the gaps are the projections of shaded rectangles onto the ordinate axis. Auxiliary dash-dotted lines (a).

Download (23KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences