Лакуны в спектре тонких волноводов с периодически расположенными локальными деформациями стенок

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Исследуется строение спектров квантового и акустического волноводов, полученных из тонкого цилиндра присоединением периодического семейства мелких узлов. Получены асимптотические разложения собственных значений модельной задачи на ячейке периодичности, на основе которых выведены асимптотические формулы для положения и размеров лакун в спектрах соответствующих задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа. Найдены геометрические и интегральные характеристики волновода, обеспечивающие раскрытие нескольких спектральных лакун. Библ. 36. Фиг. 3.

Полный текст

Доступ закрыт

Об авторах

С. А. Назаров

ИПМаш РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
Россия, 1190178 С.-Петербург, Большой проспект, В.О, 61

Список литературы

  1. Exner P., Kovarik H. Quantum waveguides. Theoretical and Mathematical Physics. Cham: Springer. 2015.
  2. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974.
  3. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
  4. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир. 1971.
  5. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.
  6. Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics. Vol. 3. New York: Academic Press Inc., 1980.
  7. Скриганов М. М. Геометрические и арифметические методы в спектральной теории многомерных периодических операторов // Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 171. Ленинград: Наука, 1985. 122 с.
  8. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations. Basel: Birchäuser, 1993.
  9. Nazarov S. A., Plamenevsky B. A. Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries. Berlin, New York: Walter de Gruyter. 1994.
  10. Гельфанд И. М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73. С. 1117–1120.
  11. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
  12. Mazja W. G., Nazarov S. A., Plamenewski B. A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten. 1. Berlin: Akademie-Verlag. 1991 (англ. перевод: Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Vol. 1. Basel: Birkhäuser Verlag, 2000).
  13. Назаров С. А. Структура решений эллиптических краевых задач в тонких областях // Вестник ЛГУ. Серия 1. 1982. Вып. 2. № 7. С. 65–68.
  14. Grieser D. Spectra of graph neighborhoods and scattering // Proc. London Math. Soc. 2008. V. 97. № 3. P. 718–752.
  15. Назаров С. А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54. № 5. С. 77–142.
  16. Назаров С. А. Об одномерных асимптотических моделях тонких решеток Неймана // Сибирск. матем. журнал. 2023. Т. 64. № 2. С. 362–382.
  17. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз, 1962.
  18. Гомес Д., Назаров С. А., Ориве-Ийера Р., Перес М.-Е. Замечания об обосновании асимптотики спектра цилиндрических волноводов с периодическими сингулярными возмущениями границы и коэффициентов // Проблемы матем. анализа. Вып. 111. Новосибирск, 2021. С. 43–65.
  19. Gómez D., Nazarov S. A., Orive-Illera R., Pérez-Martinez M.-E. Spectral gaps in a double-periodic perforated Neumann waveguide // Asymptotic Analysis. 2023. V. 131. P. 385–441.
  20. Назаров С. А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга, 2002.
  21. Panassenko G. Multi-scale modelling for structures and composites. Dordrecht: Springer, 2005.
  22. Post O. Spectral analysis on graph-like spaces. Lecture Notes in Mathematics, 2039. Heidelberg: Springer, 2012.
  23. Ван-Дайк М. Д. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.
  24. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
  25. Назаров С. А. Открытие лакуны в непрерывном спектре периодически возмущенного волновода // Матем. заметки. 2010. Т. 87. № 5. С. 764–786.
  26. Назаров С. А. Асимптотика спектральных лакун в регулярно возмущенном периодическом волноводе // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2. № 7. С. 54–63.
  27. Борисов Д. И., Панкрашкин К. В. Открытие лакун и расщепление краев зон для волноводов, соединенных периодической системой малых окон // Матем. заметки. 2013. Т. 93. № 5. С. 665–683.
  28. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. № 5. С. 3–122.
  29. Jones D. S. The eigenvalues of ▽2u + λu = 0 when the boundary conditions are given on semi-infinite domains // Proc. Camb. Phil. Soc. 1953. V. 49. P. 668–684.
  30. Molchanov S., Vainberg B. Scattering solutions in networks of thin fibers: small diameter asymptotics // Comm. Math. Phys. 2007. V. 273. No. 2. P. 533–559.
  31. Назаров С. А. Пороговые резонансы и виртуальные уровни в спектре цилиндрических и периодических волноводов // Известия РАН. Серия матем. 2020. Т. 84. № 6. С. 73–130.
  32. Pankrashkin K. Eigenvalue inequalities and absence of threshold resonances for waveguide junctions // J. of Math. Anal. and Appl. 2017. V. 449. No. 1. P. 907–925.
  33. Бахарев Ф. Л., Назаров С. А. Критерии наличия и отсутствия ограниченных решений на пороге непрерывного спектра в объединении квантовых волноводов // Алгебра и анализ. 2020. Т. 32. № 6. С. 1–23.
  34. Evans D. V., Levitin M., Vasil’ev D. Existence theorems for trapped modes // J. Fluid Mech. 1994. V. 261. P. 21–31.
  35. Назаров С. А. Волновод с двойным пороговым резонансом на простом пороге // Матем. сборник. 2020. Т. 211. № 8. С. 20–67.
  36. Korolkov A. I., Nazarov S. A., Shanin A. V. Stabilizing solutions at thresholds of the continuous spectrum and anomalous transmission of waves // ZAMM. 2016. V. 96. No. 10. P. 1245–1260.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Фиг. 1. Волновод с резонатором (a) и тонкий цилиндр с периодическим семейством узлов (б).

Скачать (14KB)
Метаданные
3. Фиг. 2. Цилиндры с утончением (a) и утолщением (б). Возмущение полосы при сохранении площади резонатора, отсеченного штрихпунктирными линиями (в).

Скачать (12KB)
Метаданные
4. Фиг. 3. Фермы дисперсионных кривых (a) и (в) предельной задачи при разных определениях параметра Флоке. Узлы помечены значками  и , но масштаб в вертикальном направлении не соблюден. Ферма дисперсионных кривых исходной задачи (б), а лакуны — проекции тонированных прямоугольников на ось ординат. Вспомогательные штрихпунктирные линии (a).

Скачать (23KB)
Метаданные

© Российская академия наук, 2024